평균이란

우리가 흔히 말하는 평균이란 무엇일까. 이 포스트에서는 수학적인 표현을 통해 평균의 의미를 파악해본다.

평균이란 다양한 크기를 갖는 1개 이상의 수들에서 중간 수준의 크기를 표현하는 값이다.
이때 ‘중간 수준’은 다양한 방법으로 측정되고 그에따라 여러가지 평균 표현법이 존재한다.

평균에 대해 명확한 개념을 갖기 위해서는 이 ‘중간 수준’을 측정하는 방법을 수학적으로 표현할 수 있어야 한다.

산술 평균 Arithmetic Mean

산술 평균은 우리가 제일 쉽게 떠올리는 그 평균을 의미하며 일상에서도 많이 사용되고 있다.
산술평균은 수식으로 아래와 같이 표현된다.

n개의 수 \(a_1, a_2, a_3, ..., a_n\)에 대하여 산술평균 \(A\)는

\[A=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k = \frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}=\frac{a_1}{n}+\frac{a_2}{n}+\frac{a_3}{n}+...+\frac{a_n}{n}\]

이다. 위 식을 설명하면 아래와 같다.
각 수에서 균등한 비율 \(\frac{1}{n}\) 만큼을 떼서 산술평균 \(A\)를 만든다.
이때 모든 수에 동등한 비율 \(\frac{1}{n}\) 만큼을 적용하면 그 결과의 크기는 수의 크기에 따라 다를 수 있고 산술평균 \(A\)를 구성하는데 미치는 영향력이 다를 수 있다.

예를들어 3명의 사람이 각각 90만원, 60만원, 30만원을 보유하고 있다면 세명의 (산술)평균 보유금액 \(A\)는 아래와 같이 설명 할 수 있다.
3명을 균등하게 나누는 비율은 \(\frac{1}{3}\) 이며 모든 사람에게 같은 비율을 적용해보면
90만원을 가진 사람의 해당 비율 만큼의 크기는 \(90\times\frac{1}{3} = 30\),
60만원을 가진 사람의 해당 비율 만큼의 크기는 \(60\times\frac{1}{3} = 20\),
30만원을 가진 사람의 해당 비율 만큼의 크기는 \(30\times\frac{1}{3} = 10\) 이다.
이처럼 3명에게 동등한 비율을 적용해도 원금액의 크기에 비례해서 크기가 달라지는 것을 알 수 있으며, 이후 세 값을 모두 더해 만들어질 (산술)평균 보유 금액에 미치는 영향도 원금액의 크기가 클수록 클 것임을 알 수 있다.
\(30 + 20 + 10 = 60\)

가중 산술 평균 Weighted Arithmetic Mean

가중 산술 평균(이하 가중 평균)은 산술 평균의 응용형태이며 아래와 같이 표현된다.

n개의 수 \(a_1, a_2, a_3, ..., a_n\)와 n개의 양수 \(w_1, w_2, w_3, ..., w_n\)에 대하여 가중 평균 \(W\)는

\[W=\frac{\sum_{k=1}^n w_k a_k}{\sum_{k=1}^n w_k}=\frac{w_1 a_1+w_2 a_2+w_3 a_3+...+w_n a_n}{w_1+w_2+w_3+...+w_n}\]

이다. 위 섹션 산술 평균과 비교하면서 식을 설명해보자.

산술 평균은 각 수를 1개로 하여 균등하게 나누는 비율 \(\frac{1}{n}(=\frac{1}{\sum_{k=1}^n 1})\)을 얻어냈다. (=1이 n개 있고 그 중 1개)

반면 가중 평균은 각 수를 1개로 취급하지 않고 각 수를 \(w_1, w_2, w_3, ..., w_n\)과 같이 1 보다 크거나 같은 개수로 보고 비율을 얻어낸다. 이것이 가중의 의미이다.

총 개수(\(\sum_{k=1}^n w_k\))에서 각 수(\(a_k\))가 차지하는 비율은 \(\frac{w_k}{\sum_{k=1}^n w_k}\) 이다. (=총 \(w_1+w_2+w_3+...+w_n\)개 있고 그 중 \(w_k\)개)

산술 평균에서 각 수에 적용하는 비율이 균등(\(\frac{1}{n}\))했던 것과 달리 가중 평균에서 각 수에 적용하는 비율은 균등하지 않으며
산술 평균 \(A\)에 각 수가 미치는 영향력은 원값의 크기(\(a_k\))에 비례하여 달라졌던 반면, 가중 평균 \(W\)에 각 수가 미치는 영향력은 원값의 크기(\(a_k\))와 가중치(\(w_k\))의 크기에 비례하여 달라진다.

이러한 평균 계산법은 특정한 수의 영향력을 강화, 축소하는데 사용된다. 단순한 예를 들어보자면, 과목 평균 점수로 대학 입시 커트라인을 정하고자 할 때, 음악 대학이라면 수학 과목의 가중은 낮추고 음악 과목의 가중은 높이고 싶을 것이다. 그럴 경우 가중 평균을 사용할 수 있다.

기하 평균

조화 평균

• https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%B0%EC%88%A0_%ED%8F%89%EA%B7%A0
• https://en.wikipedia.org/wiki/Weighted_arithmetic_mean